（1）f′（x）=8x²-4x+b，△=16-32b

①当△≤0即b≥

1

2

时，f′（x）≥0在R上恒成立，∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；

②当△＞0即b＜

1

2

时，由f′（x）=0得x₁=

1- 1-2b

4

，x₂=

1+ 1-2b

4

若f′（x）＞0，则x＜

1- 1-2b

4

或x＞

1+ 1-2b

4

若f′（x）＞0，则

1- 1-2b

4

＜x＜

1+ 1-2b

4

∴f（x）的单调增区间为：（-∞，

1- 1-2b

4

]，[

1+ 1-2b

4

，+∞）；f（x） 的单调减区间为：[

1- 1-2b

4

，

1+ 1-2b

4

]

综上所述：当b≥

1

2

时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；当b＜

1

2

时，f（x）的单调增区间为：（-∞，

1- 1-2b

4

]，[

1+ 1-2b

4

，+∞）；f（x） 的单调减区间为：[

1- 1-2b

4

，

1+ 1-2b

4

]

…（4分）

（2）g′（x）=

2

1+2x

+1=

3+2x

1+2x

，令g′（x）=3得：x=0，∴切点为（0，0），∴f（0）=0，∴a=0

∵f′（x）=8x²-4x+b|_x=0=b=3，∴a=0，b=3         …（6分）

令φ（x）=f（x）-g（x），则φ′（x）=f′（x）-g′（x）=

16x3

1+2x

∴φ（x）在（-

1

2

，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增，

∴φ（x）≥φ（0）=f（0）-g（0）=0

∴φ（x）≥0   即：f（x）≥g（x）             …（8分）

（3）K_AC=

g(t)-g(x1)

t-x1

，K_BC=

g(t)-g(x2)

t-x2

令h（t）=（1+2t）（g（t）-g（x₁））-（3+2t）（t-x₁）

则h′（t）=2 （g（t）-g（x₁））+（1+2t）g′（t）-2（t-x₁）-（3+2t）=2 （g（t）-g（x₁））-2（t-x₁）=2（ln（1+2t）-ln（1+2x₁））

∵y=ln（1+2x）在（-

1

2

，+∞）上单调递增，且t＞x₁，

∴ln（1+2t）-ln（1+2x₁）＞0，∴h′（t）＞0

∴h（t）在（x₁，t）上单调递增，∴h（t）＞h（x₁）=0

∴（1+2t）（f（t）-f（x₁））-（3+2t）（t-x₁）＞0

∴（1+2t）（f（t）-f（x₁））＞（3+2t）（t-x₁）

∵t-x₁＞0，1+2t＞0，∴

g(t)-g(x1)

t-x1

＞

3+2t

1+2t

  即K_AC＞

3+2t

1+2t

同理可证：K_BC＜

3+2t

1+2t

∴K_AC＞K_BC即割线AC的斜率大于割线BC的斜率；…（12分）