已知函数f(x)=
(1)求f(x)的单调区间. (2)若f(x)与g(x)有交点,且在交点处的切线均为直线y=3x,求a,b的值并证明:在公共定义域内恒有f(x)≥g(x). (3)设A(x1,g(x1)),B(x2,g(x2)),C(t,g(t))是y=g(x)图象上任意三点,且-
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(1)f′(x)=8x2-4x+b,△=16-32b
①当△≤0即b≥
时,f′(x)≥0在R上恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;1 2
②当△>0即b<
时,由f′(x)=0得x1=1 2
,x2=1- 1-2b 4 1+ 1-2b 4
若f′(x)>0,则x<
或x>1- 1-2b 4 1+ 1-2b 4
若f′(x)>0,则
<x<1- 1-2b 4 1+ 1-2b 4
∴f(x)的单调增区间为:(-∞,
],[1- 1-2b 4
,+∞);f(x) 的单调减区间为:[1+ 1-2b 4
,1- 1-2b 4
]1+ 1-2b 4
综上所述:当b≥
时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当b<1 2
时,f(x)的单调增区间为:(-∞,1 2
],[1- 1-2b 4
,+∞);f(x) 的单调减区间为:[1+ 1-2b 4
,1- 1-2b 4
]1+ 1-2b 4
…(4分)
(2)g′(x)=
+1=2 1+2x
,令g′(x)=3得:x=0,∴切点为(0,0),∴f(0)=0,∴a=03+2x 1+2x
∵f′(x)=8x2-4x+b|x=0=b=3,∴a=0,b=3 …(6分)
令φ(x)=f(x)-g(x),则φ′(x)=f′(x)-g′(x)=16x3 1+2x
∴φ(x)在(-
,0)上单调递减,在(0,+∞)单调递增,1 2
∴φ(x)≥φ(0)=f(0)-g(0)=0
∴φ(x)≥0 即:f(x)≥g(x) …(8分)
(3)KAC=
,KBC=g(t)-g(x1) t-x1 g(t)-g(x2) t-x2
令h(t)=(1+2t)(g(t)-g(x1))-(3+2t)(t-x1)
则h′(t)=2 (g(t)-g(x1))+(1+2t)g′(t)-2(t-x1)-(3+2t)=2 (g(t)-g(x1))-2(t-x1)=2(ln(1+2t)-ln(1+2x1))
∵y=ln(1+2x)在(-
,+∞)上单调递增,且t>x1,1 2
∴ln(1+2t)-ln(1+2x1)>0,∴h′(t)>0
∴h(t)在(x1,t)上单调递增,∴h(t)>h(x1)=0
∴(1+2t)(f(t)-f(x1))-(3+2t)(t-x1)>0
∴(1+2t)(f(t)-f(x1))>(3+2t)(t-x1)
∵t-x1>0,1+2t>0,∴
>g(t)-g(x1) t-x1
即KAC>3+2t 1+2t 3+2t 1+2t
同理可证:KBC<3+2t 1+2t
∴KAC>KBC即割线AC的斜率大于割线BC的斜率;…(12分)