已知函数f（x）=
（1）求f（x）的单调区间． （2）若f（x）与g（x）有交点，且在交点处的切线均为直线y=3x，求a，b的值并证明：在公共定义域内恒有f（x）≥g（x）． （3）设A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2）），C（t，g（t））是y=g（x）图象上任意三点，且-
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（1）f′（x）=8x2-4x+b，△=16-32b
①当△≤0即b≥
时，f′（x）≥0在R上恒成立，∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；1 2
②当△＞0即b＜
时，由f′（x）=0得x1=1 2
，x2=1- 1-2b 4 1+ 1-2b 4
若f′（x）＞0，则x＜
或x＞1- 1-2b 4 1+ 1-2b 4
若f′（x）＞0，则
＜x＜1- 1-2b 4 1+ 1-2b 4
∴f（x）的单调增区间为：（-∞，
]，[1- 1-2b 4
，+∞）；f（x） 的单调减区间为：[1+ 1-2b 4
，1- 1-2b 4
]1+ 1-2b 4
综上所述：当b≥
时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；当b＜1 2
时，f（x）的单调增区间为：（-∞，1 2
]，[1- 1-2b 4
，+∞）；f（x） 的单调减区间为：[1+ 1-2b 4
，1- 1-2b 4
]1+ 1-2b 4
…（4分）
（2）g′（x）=
+1=2 1+2x
，令g′（x）=3得：x=0，∴切点为（0，0），∴f（0）=0，∴a=03+2x 1+2x
∵f′（x）=8x2-4x+b|x=0=b=3，∴a=0，b=3 …（6分）
令φ（x）=f（x）-g（x），则φ′（x）=f′（x）-g′（x）=16x3 1+2x
∴φ（x）在（-
，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增，1 2
∴φ（x）≥φ（0）=f（0）-g（0）=0
∴φ（x）≥0 即：f（x）≥g（x） …（8分）
（3）KAC=
，KBC=g(t)-g(x1) t-x1 g(t)-g(x2) t-x2
令h（t）=（1+2t）（g（t）-g（x1））-（3+2t）（t-x1）
则h′（t）=2 （g（t）-g（x1））+（1+2t）g′（t）-2（t-x1）-（3+2t）=2 （g（t）-g（x1））-2（t-x1）=2（ln（1+2t）-ln（1+2x1））
∵y=ln（1+2x）在（-
，+∞）上单调递增，且t＞x1，1 2
∴ln（1+2t）-ln（1+2x1）＞0，∴h′（t）＞0
∴h（t）在（x1，t）上单调递增，∴h（t）＞h（x1）=0
∴（1+2t）（f（t）-f（x1））-（3+2t）（t-x1）＞0
∴（1+2t）（f（t）-f（x1））＞（3+2t）（t-x1）
∵t-x1＞0，1+2t＞0，∴
＞g(t)-g(x1) t-x1
即KAC＞3+2t 1+2t 3+2t 1+2t
同理可证：KBC＜3+2t 1+2t
∴KAC＞KBC即割线AC的斜率大于割线BC的斜率；…（12分）
