（1）函数定义域为（-1，+∞），∵f(x)=

1

2

(1+x)2-ln(1+x)∴f′（x）=

x(2+x)

1+x

，

由f'（x）＞0及x＞-1，得x＞0，由f'（x）＜0及x＞-1，得-1＜x＜0．

则递增区间是（0，+∞），递减区间是（-1，0）；

（2）由f′（x）=

x(2+x)

1+x

=0，得x=0或x=-2

由（1）知，f（x）在[

1

e

-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增

又f（

1

e

-1）=

1

2e2

+1，f（e-1）=

1

2

e2-1，

1

2

e2-1＞

1

2e2

+1

∴x∈[

1

e

-1，e-1]时，[f（x）]_max=

1

2

e2-1，

∴m＞

1

2

e2-1时，不等式f（x）＜m恒成立；

（3）由

1

2

(1+x)2-ln(1+x)=

1

2

x2+

1

2

x+a得2a=（1+x）-2ln（1+x）

令h（x）=（1+x）-2ln（1+x），则h′（x）=

x-1

x+1

∴h（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增

∵h（0）=1，h（1）=2-2ln2，h（3）=3-2ln3，且h（1）＞h（2）＞h（1）

∴当2a∈（2-2ln2，3-2ln3），即a∈（1-ln2，

3

2

-ln3）时，g（x）的图象与f（x）的图象在区间[0，2]上有两个交点．