问题 解答题
已知函数f(x)=
1
x+a
,g(x)=bx2+3x.
(Ⅰ)若曲线h(x)=f(x)-g(x)在点(1,0)处的切线斜率为0,求a,b的值;
(Ⅱ)当a∈[3,+∞),且ab=8时,求函数φ(x)=
g(x)
f(x)
的单调区间,并求函数在区间[-2,-1]上的最小值.
答案

(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a},

h′(x)=f′(x)-g′(x)=-

1
(x+a)2
-2bx-3,

∵h(x)在点(1,0)处的切线斜率为0,

h(1)=0
h′(1)=0.
,即
1
1+a
-b-3=0
-
1
(1+a)2
-2b-3=0.
,解得
a=0
b=-2
a=-
4
3
b=-6.

(Ⅱ)φ(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),

∵ab=8,所以b=

8
a
,∴φ(x)=(x+a)(
8
a
x2+3x)
(x≠-a),

φ′(x)=

1
a
(24x2+22ax+3a2)=
1
a
(4x+3a)(6x+a),

令φ'(x)=0,得x=-

3
4
a,或x=-
1
6
a

∵因为a∈[3,+∞),∴所以-

3
4
a<-
1
6
a,

∴故当x<-

3
4
a,或x>-
1
6
a
时,φ'(x)>0,当-
3
4
a<x<-
1
6
a
时,φ'(x)<0,

∴函数φ(x)的单调递增区间为(-∞,-a),(-a,-

3
4
a),(-
1
6
a,+∞),单调递减区间为(-
3
4
a,-
1
6
a)

∵a∈[3,+∞),∴-

3a
4
≤-
9
4
-
a
6
≤-
1
2

①当-

a
6
≤-2,即a≥12时,∵φ(x)在[-2,-1]单调递增,

∴φ(x)在该区间的最小值为φ(-2)=-

64
a
+44-6a;

②当-2<-

a
6
<-1,即6<a<12时,

∵φ(x)在[-2,-

a
6
)上单调递减,在(-
a
6
,-1]
上单调递增,

∴φ(x)在该区间的最小值为φ(-

a
6
)=-
25
108
a2

③当-

a
6
≥-1时,即3≤a≤6时,∵φ(x)在[-2,-1]单调递减,

∴φ(x)在该区间的最小值为φ(-1)=-

8
a
+11-3a,

综上所述,当3≤a≤6时,最小值为-

8
a
+11-3a;当6<a<12时,最小值为-
25
108
a2
;当a≥12时,最小值为-
64
a
+44-6a

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