问题
解答题
设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0. (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)当x>0时,证明不等式:
(Ⅲ)设f(x)的最小值为g(a),证明不等式:-
|
答案
(Ⅰ)∵f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0,
∴函数f(x)的定义域为(-1,+∞),且f′(x)=
,a>0,ax-1 x+1
由f′(x)=0,得x=
.1 a
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (-1,
|
| (
| ||||||
f′(x) | - | 0 | + | ||||||
f(x) | ↓ | 极小值 | ↑ |
1 |
a |
1 |
a |
当x∈(
,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)在(1 a
,+∞)内单调递增.1 a
∴函数f(x)的增区间是(
,+∞),减区间是(-1,1 a
).1 a
(Ⅱ)证明:设∅(x)=ln(x+1)-
,x∈[0,+∞),x 1+x
对∅(x)求导,得∅′(x)=
-1 x+1
=1 (1+x)2
.x (1+x)2
当x≥0时,∅′(x)≥0,所以∅(x)在[0,+∞)内是增函数.
∴∅(x)>∅(0)=0,即ln(x+1)-
>0,x 1+x
∴
<ln(x+1).x 1+x
同理可证ln(x+1)<x,
∴
<ln(x+1)<x.x 1+x
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,g(a)=f(
)=1-(a+1)•ln(1 a
+1),1 a
将x=
代入1 a
<ln(x+1)<x,x 1+x
得
<ln(1 a+1
+1)<1 a
,1 a
即1<(a+1)ln(
+1)<1+1 a
,1 a
∴-
<1-(a+1)ln(1 a
+1)<0,1 a
故-
<g(a)<0.1 a