已知函数f(x)=13x3-ax^+(a^-1)x+b(a，b∈R)．（I）若y

问题解答题

已知函数f(x)=

x3-ax^+(a^-1)x+b(a，b∈R)．
（I）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求实数a、b的值．
（II）当a≠0时，若f（x）在（-1，1）上不单调，求实数a的取值范围．

答案

（I）依题意，1+f（1）-3=0∴f（1）=2．

即2=

-a+a2-1+b，a2-a+b-

=0．…（2分）∵切线x+y-3=0的斜率为-1，∴f'（1）=-1，即a²-2a+1=0，a=1．…（4分）

代入解得b=

．…6 分

（Ⅱ）因为函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，

所以方程f'（x）=0在（-1，1）上有解．…（8分）

因为f'（x）=x²-2ax+a²-1=[x-（a-1）]•[x-（a+1）]

所以-1＜a-1＜1或-1＜a+1＜1…（10分）∴a∈（-2，0）∪（0，2）…（12分）