问题
解答题
已知函数f（x）=xln x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）k为正常数，设g（x）=f（x）+f（k-x），求函数g（x）的最小值；
（3）若a＞0，b＞0证明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）
答案
（1）f′（x）=ln x+1，f′（x）＞0，得x＞
；1 e
f′（x）＜0，得0＜x＜
，1 e
∴f（x）的单调递增区间是（
，+∞），单调递减区间是（0，1 e
）．…（3分）1 e
（2）∵g（x）=f（x）+f（k-x）=x ln x+（k-x）ln（k-x），定义域是（0，k）
∴g′（x）=ln x+1-[ln （k-x）+1]=ln
…（5分）x k-x
由g′（x＞0，得
＜x＜k，由g′（x＜0，得0＜x＜k 2
，k 2
∴函数g（x）在（0，
） 上单调递减；在（k 2
，k）上单调递增，…（7分）k 2
故函数g（x）的最小值是：ymin=g（
）=klnk 2
．…（8分）k 2
（3）∵a＞0，b＞0∴在（2）中取x=
，k=2，2a a+b
可得f（
）+f（2-2a a+b
）≥2ln1 f（2a a+b
）+f（2a a+b
）≥02b a+b
⇒
ln2a a+b
+2a a+b
ln2b a+b
≥02b a+b
⇒alna+blnb+（a+b）ln2-（a+b）ln（a+b）≥0
⇒f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b） …（12分）