问题 解答题
设函数f(x)=lnx-ax,(a∈R).
(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)当lnx<ax对于x∈(0,+∞)上恒成立时,求a的取值范围;
(Ⅲ)若k,n∈N*,且1≤k≤n,证明:
1
(1+
1
n
)n
+
1
(1+
2
n
)n
+…+
1
(1+
k
n
 
)n
+…+
1
(1+
n
n
)n
1
e-1
答案

(Ⅰ)求导函数,可得f′(x)=

1
x
-a(x>0)

当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数;

当a>0时,由f′(x)>0可得0<x<

1
a
,由f′(x)>0可得x>
1
a

∴当a≤0时,函数f(x)的单调增区间是(0,+∞);当a>0时,函数f(x)的单调增区间是(0,

1
a
),单调减区间是(
1
a
,+∞
);

(Ⅱ)lnx<ax对于x∈(0,+∞)上恒成立,等价于f(x)max<0

由上知,a≤0时,不成立;

a>0时,f(x)max=f(

1
a
)=ln
1
a
-1<0,∴a>
1
e

(Ⅲ)证明:∵函数f(x)=lnx-ax,由(Ⅱ)知,a=1时,f(x)max=f(

1
a
)=ln
1
a
-1=-1

∴lnx-x<-1

∴lnx<x-1

x=1+

k
n
,则ln(1+
k
n
)<
k
n
,∴nln(1+
k
n
)<k
,∴ln(1+
k
n
)n<k

(1+

k
n
)nek,∴
1
(1+
k
n
)
n
1
ek

1
(1+
1
n
)n
+
1
(1+
2
n
)n
+…+
1
(1+
k
n
 
)n
+…+
1
(1+
n
n
)n
1
e
+
1
e2
+…+
1
e2
+
1
2n
=
1
e
(1-
1
en-1
)
1-
1
e
+
1
2n

当n→+∞时,

1
e
(1-
1
en-1
)
1-
1
e
1
e-1

1
(1+
1
n
)n
+
1
(1+
2
n
)n
+…+
1
(1+
k
n
 
)n
+…+
1
(1+
n
n
)n
1
e-1

单项选择题
判断题