问题
解答题
| 设函数f（x）=lnx-ax，（a∈R）． （Ⅰ）判断函数f（x）的单调性； （Ⅱ）当lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围； （Ⅲ）若k，n∈N*，且1≤k≤n，证明：
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答案
（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)=
-a（x＞0）1 x
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，由f′（x）＞0可得0＜x＜
，由f′（x）＞0可得x＞1 a
，1 a
∴当a≤0时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，
），单调减区间是（1 a
，+∞）；1 a
（Ⅱ）lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立，等价于f（x）max＜0
由上知，a≤0时，不成立；
a＞0时，f(x)max=f(
)=ln1 a
-1＜0，∴a＞1 a
；1 e
（Ⅲ）证明：∵函数f（x）=lnx-ax，由（Ⅱ）知，a=1时，f(x)max=f(
)=ln1 a
-1=-11 a
∴lnx-x＜-1
∴lnx＜x-1
令x=1+
，则ln(1+k n
)＜k n
，∴nln(1+k n
)＜k，∴ln(1+k n
)n＜kk n
∴(1+
)n＜ek，∴k n
＞1 (1+
)nk n 1 ek
∴
+1 (1+
)n1 n
+…+1 (1+
)n2 n
+…+1 (1+
)nk n
＞1 (1+
)nn n
+1 e
+…+1 e2
+1 e2
=1 2n
+
(1-1 e
)1 en-1 1- 1 e 1 2n
当n→+∞时，
→
(1-1 e
)1 en-1 1- 1 e
．1 e-1
∴
+1 (1+
)n1 n
+…+1 (1+
)n2 n
+…+1 (1+
)nk n
＞1 (1+
)nn n
．1 e-1