问题 解答题
设函数f(x)=lnx-ax,(a∈R).
(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)当lnx<ax对于x∈(0,+∞)上恒成立时,求a的取值范围;
(Ⅲ)若k,n∈N*,且1≤k≤n,证明:
1
(1+
1
n
)n
+
1
(1+
2
n
)n
+…+
1
(1+
k
n
 
)n
+…+
1
(1+
n
n
)n
1
e-1
答案

(Ⅰ)求导函数,可得f′(x)=

1
x
-a(x>0)

当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数;

当a>0时,由f′(x)>0可得0<x<

1
a
,由f′(x)>0可得x>
1
a

∴当a≤0时,函数f(x)的单调增区间是(0,+∞);当a>0时,函数f(x)的单调增区间是(0,

1
a
),单调减区间是(
1
a
,+∞
);

(Ⅱ)lnx<ax对于x∈(0,+∞)上恒成立,等价于f(x)max<0

由上知,a≤0时,不成立;

a>0时,f(x)max=f(

1
a
)=ln
1
a
-1<0,∴a>
1
e

(Ⅲ)证明:∵函数f(x)=lnx-ax,由(Ⅱ)知,a=1时,f(x)max=f(

1
a
)=ln
1
a
-1=-1

∴lnx-x<-1

∴lnx<x-1

x=1+

k
n
,则ln(1+
k
n
)<
k
n
,∴nln(1+
k
n
)<k
,∴ln(1+
k
n
)n<k

(1+

k
n
)nek,∴
1
(1+
k
n
)
n
1
ek

1
(1+
1
n
)n
+
1
(1+
2
n
)n
+…+
1
(1+
k
n
 
)n
+…+
1
(1+
n
n
)n
1
e
+
1
e2
+…+
1
e2
+
1
2n
=
1
e
(1-
1
en-1
)
1-
1
e
+
1
2n

当n→+∞时,

1
e
(1-
1
en-1
)
1-
1
e
1
e-1

1
(1+
1
n
)n
+
1
(1+
2
n
)n
+…+
1
(1+
k
n
 
)n
+…+
1
(1+
n
n
)n
1
e-1

论述题

(60分)阅读下列图文资料,完成下列要求。

材料:国家国防动员委员会日前下发通知,明确自2013年2月1日起启用国防动员标志。国防动员标志是国防动员事业的象征,以五角星、和平鸽、长城烽火台、橄榄枝和文字为主要元素,通过抽象概括,将五角星与和平鸽组合为一个有机整体。五角星象征着国家无上的尊严与荣耀,同时也是国防事业的代表元素,寓意国防动员是国家行为,是国防现代化建设的重要组成部分。长城烽火台象征着国家安全,寓意国防动员是巩固强大国防、维护国家安全的战略工程。和平鸽与橄榄枝象征着和平,寓意我国加强国防动员建设的根本目的是维护国家的和平与安宁。标志上下方分别缀以汉字“国防动员”和英文“NATIONAL DEFENSE MOBILIZATION”(国防动员英译)。

(1)用“公民的政治生活”和“国际社会”的知识分析启用国防动员标志的意义(9分)

材料五 占地球表面积约71%的辽阔海洋是资源宝库,它将是21世纪人类社会生存和可持续发展的物质基础。人类社会发展至今,由于人口激增,面临着人口、资源、环境三大问题,海洋在国际事务中的战略地位愈加突出。世界上许多强国的崛起,都与海洋资源的开发有关。发展海洋经济,是强国的经济,有利于经济社会可持续发展,对一国经济、政治、安全等都有深刻的影响。各国加大了对海洋资源的开发力度,积极发展海洋经济。

(2)从政治生活角度谈谈各国为何竞相发展海洋经济?(11分)

单项选择题 A1型题