问题
解答题
已知函数f（x）=2x3-3ax2+1．
（1）若x=1为函数f（x）的一个极值点，试确定实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
答案
（1）∵f（x）=2x3-3ax2+1，∴f'（x）=6x2-6ax．依题意得f'（1）=6-6a=0，解得a=1．
所以f（x）=2x3-3x2+1，f'（x）=6x（x-1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=1．列表如下：
| x | （-∞，0） | 0 | （0，1） | 1 | （1，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=0．
（2）∵f′（x）=6x2-6ax=6x（x-a），
∴①当a=0时，f′（x）=6x2≥0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，f′（x）=6x（x-a），f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表：
| x | （-∞，0） | 0 | （0，a） | a | （a，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
③同理可得，当a＜0时，函数f（x）在（-∞，a）上单调递增，在（a，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
综上所述，当a=0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（a，+∞），单调递减区间是（0，a）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，a）和（0，+∞），单调递减区间是（a，0）．