问题
解答题
已知函数f（x）=（x3+ax）ex，x∈R．
（I）若a=0，求函数y=f（x）的单调区间；
（II）若f（x）在区间（0，1）上单调递减，求a的取值范围．
答案
（I）当a=0时，f（x）=x3ex
∴f'（x）=3x2ex+x3ex=x2（3+x）ex，
令f′（x）=0，解得x=0，或-3．
①当x＞-3时，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增；
②当x＜-3时，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴函数f（x）=x3ex在（-∞，-3）为减函数，在（-3，+∞）为增函数．
（II）∵f'（x）=（3x2+a）ex+（x3+ax）ex=（x3+3x2+ax+a）ex
由已知得（x3+3x2+ax+a）ex≤0在（0，1）上恒成立，
∴a≤-
在（0，1）上恒成立．x3+3x2 x+1
令g(x)=-
(x∈(0，1))．x3+3x2 x+1
则g′(x)=-
=-2x(x2+3x+3) (x+1)2
．2x[(x+
)2+3 2
]3 4 (x+1)2
∵x∈（0，1），∴g′（x）＜0．
∴函数g（x）在区间（0，1）上是减函数．
∴a≤g（1）=-2．
故a≤-2．