（I）f′(x)=2x+

a

1+x

=

2x2+2x+a

1+x

(x＞-1)

令g（x）=2x²+2x+a，其对称轴为x=-

1

2

．

由题意知x₁、x₂是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，

其充要条件为

△=4-8a＞0 g(-1)=a＞0

，得0＜a＜

1

2

（1）当x∈（-1，x₁）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，x₁）内为增函数；

（2）当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x₁，x₂）内为减函数；

（3）当x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x₂，+∞）内为增函数；

（II）由（I）g(0)=a＞0，∴-

1

2

＜x2＜0，a=-（2x²₂+2x₂）

∴f（x₂）=x₂²+aln（1+x₂）=x₂²-（2x²₂+2x₂）ln（1+x₂）

设h(x)=x2-(2x2+2x)ln(1+x)(x＞-

1

2

)，

则h'（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x）

（1）当x∈(-

1

2

，0)时，h'（x）＞0，∴h（x）在[-

1

2

，0)单调递增；

（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴当x∈(-

1

2

，0)时，h(x)＞h(-

1

2

)=

1-2ln2

4

故f(x2)=h(x2)＞

1-2In2

4

．