| 若函数f（x）在（0，+∞）上恒有xf′（x）＞f（x）成立（其中f′（x）为f（x）的导函数），则称这类函数为A类函数． （1）若函数g（x）=x2-1，试判断g（x）是否为A类函数； （2）若函数h(x)=ax-3-lnx-
（3）若函数f（x）是A类函数，当x1＞0，x2＞0时，证明f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）． |
（1）因为g'（x）=2x，
所以xg'（x）-g（x）=2x2-（x2-1）=x2+1＞0在（0，+∞）上恒成立，
即xg'（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，
所以g（x）=x2-1是A型函数．…（2分）
（2）h′(x)=a-
+1 x
(x＞0)，1-a x2
由xh'（x）＞h（x），
得ax-1+
＞ax-3-lnx-1-a x
，1-a x
因为x＞0，所以可化为2（a-1）＜2x+xlnx，
令p（x）=2x+xlnx，p'（x）=3+lnx，
令p'（x）=0，得x=e-3，
当x∈（0，e-3）时，p'（x）＜0，p（x）是减函数；
当x∈（e-3，+∞）时，p'（x）＞0，p（x）是增函数，
所以p(x)min=p(e-3)=-e-3，
所以2（a-1）＜-e-3，a＜1-
e-3．…（4分）1 2
①当a=0时，由h′(x)=
＞0，得x＜1，1-x x2
所以增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
②当a＜0时，由h′(x)=
＞0，得0＜x＜1，a(x-
)(x-1)1-a a x2
所以增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
③当0＜a＜
时，得x＜1，或x＞1 2
，1-a a
所以增区间为（0，1），(
，+∞)，减区间为(1-a a
，1)；1-a a
④当a=
时，h'（x）≥0，1 2
所以，函数增区间为（0，+∞）；
⑤
＜a＜1-1 2
e-3时，由h′(x)=1 2
＞0，得x＜a(x-
)(x-1)1-a a x2
，或x＞1，1-a a
所以增区间为（1，+∞），a1•a2•…•ak-1＞1×2×…×（k-1）≥2k-2＞k，
减区间为(
，1)． …（10分）1-a a
（3）证明：函数f（x）是（0，+∞）上的每一点处都有导数，
且xf'（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立，
设F(x)=
，F′(x)=f(x) x
＞0在（0，+∞）时恒成立，xf′(x)-f(x) x2
所以函数F(x)=
在（0，+∞）上是增函数，…（12分）f(x) x
因为x1＞0，x2＞0，
所以x1+x2＞x1＞0，x1+x2＞x2＞0，
所以F（x1+x2）＞F（x1），F（x1+x2）＞F（x2），
即
＞f(x1+x2) x1+x2
，f(x1) x1
＞f(x1+x2) x1+x2
，（14分）f(x2) x2
所以f(x1)＜
，f(x2)＜x1f(x1+x2) x1+x2
，x2f(x1+x2) x1+x2
两式相加，得f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）．（16分）