已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（

问题解答题

已知函数f（x）=k[（log_ax）²+（log_xa）²]-（log_ax）³-（log_xa）³，（其中a＞1），g（x）=x²-2bx+4，设t=log_ax+log_xa．

（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；

（Ⅱ）当k=4时，若对∀x₁∈（1，+∞），∃x₂∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂），试求实数b的取值范围．．

答案

（Ⅰ）∵（log_ax）²+（log_xa）²=（log_ax+log_xa）²-2=t²-2，

（log_ax）³+（log_xa）³=（log_ax+log_xa）[（log_ax+log_xa）²-3]=t³-3t，

∴h（t）=-t³+kt²+3t-2k，（t＞2）

∴h'（t）=-3t²+2kt+3

设t₁，t₂是h'（t）=0的两根，则t₁t₂＜0，

∴h'（t）=0在定义域内至多有一解，

欲使h（t）在定义域内有极值，只需h'（t）=-3t²+2kt+3=0在（2，+∞）内有解，

且h'（t）的值在根的左右两侧异号，

∴h'（2）＞0得k＞

综上：当k＞

时h（t）在定义域内有且仅有一个极值，

当k≤

时h（t）在定义域内无极值

（Ⅱ）∵对任意的x₁∈（1，+∞），存在x₂∈[1，2]，

使f（x₁）≤g（x₂）等价于x∈（1，+∞）时，f（x）_max≤g（x）_max，x∈[1，2]，

又k=4时，h（t）=-t³+4t²+3t-8 （t≥2），

h'（t）=-3t²+8t+3t∈（2，3）时，h'（t）＞0，

而t∈（3，+∞）时，h'（t）＜0

∴h（t）_max=h（3）=10，

x∈[1，2]时，g(x)max=

8-4b，b≤

5-2b，b＞

∴

b≤

8-4b≥10

或

b＞

5-2b≥10

∴b≤-