（Ⅰ）由已知：f'（x）=

ax-1

ax2

(a＞0)

依题意得：

ax-1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）恒成立

∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立

∴a-1≥0即：a≥1

（Ⅱ）∵a=1

∴f（x）=

1-x

x

+lnx，

∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，

∴n≥2时：f（

n

n-1

）=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=ln

n

n-1

-

1

n

＞f(1)=0

即：

1

n

＜ln

n

n-1

∴

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

=lnn

设g（x）=lnx-x  x∈[1，+∞），

则g′(x)=

1

x

-1≤0对x∈[1，+∞）恒成立，

∴g（x）在[1+∞）为减函数，∵

n

n-1

＞1

∴n≥2时：g（

n

n-1

）=ln

n

n-1

-

n

n-1

＜g（1）=-1＜0

即：ln

n

n-1

＜

n

n-1

=1+

1

n-1

（n≥2）

∴lnn=ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＜(1+

1

n-1

)+(1+

1

n-2

)+…+(1+

1

1

)=n+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

综上所证：

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜lnn＜n+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

（n∈N*且≥2）成立．