问题
解答题
| 已知函数f（x）=（cx-a）2-2x，a∈R，e为自然对数的底数． （I）求函数f（x）的单调增区间； （II）证明：对任意x∈[0，
（III）当a=0时，设g(n)=
|
答案
（I）f′（x）=2ex（ex-a）-2=2（e2x-aex-1）
令f′（x）＞0，解得x＞lna+ a2+4 2
∴f（x）的单调增区间是(ln
，+∞)a+ a2+4 2
（II）证明：由（I）知，当x∈（-∞，0）时，h（x）=e2x-2x是减函数；当x∈[0，+∞）时，h（x）=e2x-2x是增函数；
∴h（x）≥h（0）
∴e2x-2x≥1
∴e2x≥2x+1
x∈[0，
)时，∴e-2x≥-2x+1＞01 2
∴e2x≤1 1-2x
∴对任意x∈[0，
)，恒有1+2x≤e2x≤1 2
成立；1 1-2x
（III）证明：当a=0时，得f（x）=e2x-2x
∴g(n)=
[f(0)+f(1 n
)+f(1 n
)+…+f(2 n
)]n-1 n
=
[(1+e1 n
+e2 n
+…+e4 n
)-(2(n-1) n
+2 n
+…+4 n
)]2(n-1) n
=
•1 n
-1+e2-1 e
-12 n 1 n
∵ε∈（0，1），∴当n＞
时，e2-2 ε
∈(0，1 n
)1 2
由（II）知，1＜e
≤2 n
，0＜e1 1- 2 n
-1≤2 n 2 n-2
∴
≥1 e
-12 n
-1n 2
∴
≥(e2-1 e
-12 n
-1)(e2-1)n 2
∴
•1 n
≥(e2-1 e
-12 n
-1 2
)(e2-1)1 n
∴
•1 n
-1+e2-1 e
-12 n
≥(1 n
-1 2
)(e2-1)-1+1 n 1 n
∴g(n)≥
-e2-3 2 e2-2 n
∴
-g(n)≤e2-3 2 e2-2 n
∴当n＞
时，e2-2 ε
＜εe2-2 n
∴当n＞
时，不等式e2-2 ε
-g(n)＜ε总成立e2-3 2
