（Ⅰ）因为f'（x）=e^x-e，

令f'（x）=e^x-e＞0，解得x＞1，

令f'（x）=e^x-e＜0，解得x＜1，

所以函数f（x）在（-∞，1）上递减，（1，+∞）上递增，

所以f（x）的最小值为f（1）=0．                   …（3分）

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知函数f（x）在x=1取得最小值，

所以f（x）≥f（1），

即e^x≥ex

两端同时乘以

1

e

得e^x-1≥x，

把x换成t+1得e^t≥t+1，

当且仅当t=0时等号成立．

由e^t≥t+1得，e¹＞1+1=2，e

1

2

＞

1

2

+1=

3

2

，

e

1

3

＞

1

3

+1=

4

3

，

…

e

1

n-1

＞

1

n-1

+1=

n

n-1

，e

1

n

＞

1

n

+1=

n+1

n

．

将上式相乘得

e1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

+

1

n

＞2×

3

2

×

4

3

×…×

n

n-1

×

n+1

n

=n+1．…（9分）

（Ⅲ）设F(x)=h(x)-g(x)=

1

2

x2-elnx(x＞0)．

则F′(x)=x-

e

x

=

x2-e

x

=

(x+ e )(x- e )

x

．

所以当0＜x＜

e

时，F'（x）＜0；

当x＞

e

时，F'（x）＞0．

因此x=

e

时F（x）取得最小值0，

则h（x）与g（x）的图象在x=

e

处有公共点(

e

，

1

2

e)．

设h（x）与g（x）存在“分界线”，

方程为y-

1

2

\user2e=k(x-

e

)．

由h(x)≥kx+

1

2

e-k

e

在x∈R恒成立，

则x2-2kx-e+2k

e

≥0在x∈R恒成立．

所以△=4k2+4e-8k

e

=4(k-

e

)2≤0成立．

因此k=

e

．

下面证明g(x)≤

e

x-

1

2

e（x＞0）成立．

设G(x)=elnx-

e

x+

1

2

e，

G′(x)=

e

x

-

e

=

e- e x

x

．

所以当0＜x＜

e

时，G'（x）＞0；

当x＞

e

时，G'（x）＜0．

因此x=

e

时G（x）取得最大值0，

则g(x)≤

e

x-

1

2

e（x＞0）成立．

所以k=

e

，b=-

1

2

e．…（14分）