（Ⅰ）由题x＞0，f′(x)=-

[ 1 x+1 +ln(x+1)]

x2

＜0，…（2分）

故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；…（3分）

（Ⅱ）当x＞0时，f(x)＞

k

x+1

恒成立，即k＜

x+1

x

[1+ln(x+1)]在（0，+∞）上恒成立，

取h(x)=

x+1

x

[1+ln(x+1)]，则h′(x)=

x-1-ln(x+1)

x2

，…（5分）

再取g（x）=x-1-ln（x+1），则g′(x)=1-

1

x+1

=

x

x+1

＞0，

故g（x）在（0，+∞）上单调递增，

而g（1）=-ln2＜0，g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-2ln2＞0，…（7分）

故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实数根a∈（2，3），a-1-ln（a+1）=0，

故x∈（0，a）时，g（x）＜0；x∈（a，+∞）时，g（x）＞0，

故h(x)min=

a+1

a

[1+ln(a+1)]=a+1∈(3，4)，k≤3，故k_max=3…（8分）

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知：

1+ln(x+1)

x

＞

3

x+1

(x＞0)，∴ln(x+1)＞

3x

x+1

-1=2-

3

x+1

＞2-

3

x

令x=n(n+1)，ln[1+n(n+1)]＞2-

3

n(n+1)

=2-3(

1

n

-

1

n+1

)，…（10分）

又ln[（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1））＞2n-3[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2n-3(1-

1

n+1

)=2n-3+

3

n+1

＞2n-3

即：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n（n+1）]＞e^2n-3…（14分）