问题
解答题
| 已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[f′(x)+
（Ⅲ）求证：
|
答案
（Ⅰ）f′(x)=
(x＞0)（2分）a(1-x) x
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）f′(2)=-
=1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3a 2
∴g(x)=x3+(
+2)x2-2x，m 2
∴g'（x）=3x2+（m+4）x-2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴
(8分)g′(t)＜0 g′(3)＞0
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：
，∴-g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0
＜m＜-9（10分）37 3
（Ⅲ）令a=-1此时f（x）=-lnx+x-3，所以f（1）=-2，
由（Ⅰ）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n-1，
∴0＜
＜lnn n n-1 n
∴
•ln2 2
•ln3 3
••ln4 4
＜lnn n
•1 2
•2 3
••3 4
=n-1 n
(n≥2，n∈N*)1 n