问题
解答题
设f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为f′（x），且对任意正数x均有f′（x）＞
（Ⅰ）判断函数F（x）=
（Ⅱ）设x1，x2∈（0，+∞），比较f（x1）+f（x2）与f（x1+x2）的大小，并证明你的结论． |
答案
（Ⅰ）由于f′（x）＞
得，f(x) x
＞0，而x＞0，xf′(x)-f(x) x
则xf′（x）-f（x）＞0，
则F′（x）=
＞0，因此F（x）=xf′(x)-f(x) x
在（0，+∞）上是增函数．（6分）f(x) x
（Ⅱ）由于x1，x2∈（0，+∞），则0＜x1＜x1+x2，
而F（x）=
在（0，+∞）上是增函数，f(x) x
则F（x1）＜F（x1+x2），即
＜f(x1) x1
，f(x1+x2) x1+x2
∴（x1+x2）f（x1）＜x1f（x1+x2）（1），（9分）
同理（x1+x2）f（x2）＜x2f（x1+x2）（2）（11分）
（1）+（2）得：（x1+x2）[f（x1）+f（x2）]＜（x1+x2）f（x1+x2），而x1+x2＞0，
因此f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）（14分）