问题
解答题
已知函数g(x)=
（1）若a=1，求g（x）的单调减区间； （2）若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(
（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值． |
答案
（1）当a=1时，g（x）=
x3+2x2-2x，g′（x）=x2+4x-2 …（1分）1 3
由g′（x）＜0解得-2-
＜x＜-2+6
…（2分）6
∴当a=1时函数g（x）的单调减区间为 （-2-
，2+6
）；…（3分）6
（2）易知f（x）=g′（x）=x2+4x-2
依题意知 f(
)-x1+x2 2
=a（f(x1)+f(x2) 2
）2+4×x1+x2 2
-2-x1+x2 2 a
+4x1-2+ax 21
+4x2-2x 22 2
=-
（x1-x2）2＜0 …（5分）a 4
因为x1≠x2，所以a＞0，即实数a的取值范围是（0，+∞）；…（6分）
（3）易知f（x）=ax2+4x-2=a（x+
）2-2-2 a
，a＞0．4 a
显然f（0）=-2，由（2）知抛物线的对称轴x=-
＜0 …（7分）2 a
①当-2-
＜-4即0＜a＜2时，M∈（-4 a
，0）且f（M）=-42 a
令ax2+4x-2=-4解得 x=
…（8分）-2± 4-2a a
此时M取较大的根，即M=
=-2+ 4-2a a
…（9分）-2
+24-2a
∵0＜a＜2，∴M=
=-2+ 4-2a a
＞-1 …（10分）-2
+24-2a
②当-2-
≥-4即a≥2时，M＜-4 a
且f（M）=42 a
令ax2+4x-2=4解得 x=
…（11分）-2± 4+6a a
此时M取较小的根，即 M=
=-2± 4+6a a
…（12分）-6
-24+6a
∵a≥2，∴M=
=-2± 4+6a a
≥-3当且仅当a=2时取等号 …（13分）-6
-24+6a
由于-3＜-1，所以当a=2时，M取得最小值-3 …（14分）