f′(x)=

1

x

+2x+a=

2x2+ax+1

x

，

（Ⅰ）因为x=

1

2

时，f（x）取得极值，所以f′(

1

2

)=0，

即2+1+a=0，故a=-3．（3分）

（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞）．

方程2x²+ax+1=0的判别式△=a²-8，

（1）当△≤0，即-2

2

≤a≤2

2

时，2x²+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数．

（2）当△＞0，即a＜-2

2

或a＞2

2

时，

要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，

只需在（0，+∞）内有2x²+ax+1≥0即可，

设h（x）=2x²+ax+1，

由

h(0)=1＞0 - a 2×2 ＜0

得a＞0，所以a＞2

2

．

由（1）（2）可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是[-2

2

，+∞)．（9分）

（Ⅲ）证明：g（x）=lnx+ax+1，当a=-1时，g（x）=lnx-x+1，其定义域是（0，+∞），

令g′(x)=

1

x

-1=0，得x=1．则g（x）在x=1处取得极大值，也是最大值．

而g（1）=0．所以g（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．因此lnx≤x-1．

因为n∈N，n≥2，所以lnn²≤n²-1．则

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

．

所以

ln22

22

+

ln32

32

++

lnn2

n2

≤(1-

1

22

)+(1-

1

32

)+(1-

1

n2

)

=(n-1)-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)

＜(n-1)-(

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

)

=(n-1)-(

1

2

-

1

n+1

)=

2n2-n-1

2(n+1)

．

所以结论成立．