（1）f'（x）=2xe^x-1+x²e^x-1-x²-2x=x（x+2）（e^x-1-1），

令f'（x）=0，可得x₁=-2，x₂=0，x₃=1．

当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴函数y=f（x）的增区间为（-2，0）和（1，+∞），减区间为（-∞，-2）和（0，1）．

（2）当x∈[-1，2]时，f(-1)=

1

e2

-

2

3

＜0，

f(2)=4(e-

5

3

)＞0，f(x)_极小值=f(1)=-

1

3

＞f(-1)，f(x)_极大值=f（0）=0．

所以f（x）在[-1，2]上的最小值为

1

e2

-

2

3

．

（3）设gn(x)=ex-1-

xn

n!

，当n=1时，只需证明g₁（x）=e^x-1-x＞0，当x∈（1，+∞）时，g₁^′（x）=e^x-1-1＞0，

所以g₁（x）=e^x-1-x在（1，+∞）上是增函数，∴g₁（x）＞g₁（1）=e⁰-1=0，即e^x-1＞x；

当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即gk(x)=ex-1-

xk

k!

＞0，

当n=k+1时，

因为gk+1′(x)=ex-1-

(k+1)xk

(k+1)!

=ex-1-

xk

k!

＞0，

所以g_k+1（x）在（1，+∞）上也是增函数．

所以gk+1(x)＞gk+1(1)=e0-

1

(k+1)!

=1-

1

(k+1)!

＞0，

即当n=k+1时，不等式成立．

由归纳原理，知当x∈（1，+∞）时，∀n∈N*，ex-1＞

xn

n!

．