（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则g′(x)=+2ax+b，
由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，
∴b=-2a-1．
（2）由（1）得g′(x)==．
∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴当a=0时，g′(x)=-，
由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，
即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或x=，
若＜1，即a＞时，由g'（x）＞0得x＞1或0＜x＜，由g'（x）＜0得＜x＜1，
即函数g（x）在(0，)，（1，+∞）上单调递增，在(，1)单调递减；
若＞1，即0＜a＜时，由g'（x）＞0得x＞或0＜x＜1，由g'（x）＜0得1＜x＜，
即函数g（x）在（0，1），(，+∞)上单调递增，在(1，)单调递减；
若=1，即a=时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，
即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当0＜a＜时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在(1，)单调递减；在(，+∞)上单调递增；
当a=时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞时，函数g（x）在(0，)上单调递增，在(，1)单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
（3）证法一：依题意得k==，
证＜k＜，即证＜＜，因x2-x1＞0，即证＜ln＜，
令=t（t＞1），即证1-＜lnt＜t-1（t＞1），
令h(t)=lnt+-1（t＞1），则h′(t)=-=＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（t）＞h（1）=0，即lnt＞1-（t＞1）②
综合①②得1-＜lnt＜t-1（t＞1），即＜k＜．
证法二：依题意得k==⇒lnx2-kx2=lnx1-kx1，
令h（x）=lnx-kx，则h′(x)=-k，
由h'（x）=0得x=，当x＞时，h'（x）＜0，当0＜x＜时，h'（x）＞0，
∴h（x）在(0，)单调递增，在(，+∞)单调递减，又h（x1）=h（x2），
∴x1＜＜x2，即＜k＜．
证法三：令h(x)=lnx-，则h′(x)=-，
当x＞x1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递减，
∴当x2＞x1时，h(x2)＜h(x1)⇒lnx2-＜lnx1-1，即＜；
同理，令m(x)=lnx-，可证得＜．
证法四：依题意得k==，
＜k＜ ⇔＜＜⇔x1lnx2-x1lnx1＜x2-x1＜x2lnx2-x2lnx1
令h（x）=x-x1lnx+x1lnx1-x1，则h′(x)=1-，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递增，
∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2-x1lnx1＜x2-x1
令m（x）=x-x2lnx+x2lnx2-x2，则m′(x)=1-，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，
∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2-x1＜x2lnx2-x2lnx1；
所以命题得证．
