（I）f（x）=|x-a|-lnx的定义域为（0，+∞）．

a=1，f（x）=|x-1|-lnx，

当x≥1时，f（x）=x-1-lnx，

f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，

∴f（x）在区间[1，+∞）上是递增函数，

当0＜x＜1时，f（x）=1-x-lnx，

f′(x)=-1-

1

x

＜0，

∴f（x）在区间（0，1）上是递减函数，

故a=1时，f（x）的增区间为[1，+∞），减区间为（0，1），

f（x）_min=f（1）=0．

（II）若a≥1时，当x≥a时，f（x）=x-a-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，

则f（x）在区间[a，+∞）上是递增的；

当0＜x＜a时，f（x）=a-x-lnx，f′(x)=-1-

1

x

＜0，

∴f（x）在区间（0，a）上是递减的，

若0＜a＜1，当x≥a时，f（x）=x-a-lnx，

f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0，

则f（x）在区间[1，+∞）上是递增的，f（x）在区间[a，1）上是递减的．

当0＜x＜a时，f（x）=a-x-lnx，f′(x)=-1-

1

x

＜0，

f（x）在区间（0，a）上是递减的，

而f（x）在x=a处连续，

则f（x）在区间[1，+∞）上是递增的，在区间（0，1）上是递减的，

若a≤0，f（x）=x-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，x＞1，f′（x）＞0，0＜x＜1，f′（x）＜0，

则f（x）在区间[1，+∞）上是递增的，f（x）在区间（0，1）上是递减的．

综上所述，

当a≥1时，

a≤0，f（x）=x-lnx，

f（x）的增区间是[a，+∞），减区间是（0，a）．

当a＜1时，f（x）的递增区间是{1，+∞），减区间是（0，1）．

（III）由（I）知：a=1

f（x）在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增．

∴x＞1时，f（x）=x-1-lnx＞f（1）=0，

即x-1＞lnx在x＞1时成立．

若n∈N^*，n＞1，则令x=

n+1

n-1

＞1，

则

n+1

n-1

-1＞ln

n+1

n-1

，

即

2

n-1

＞ln

n+1

n-1

，

∴

2

2-1

+

2

3-1

+…+

2

n

＞ln

2+1

2-1

+ln

3+1

3-1

+…+ln

n+2

n

=ln

n+2

2n

，

∴n∈N^*，n＞1时，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

2

ln

(n+1)(n+2)

2

，

∵n=1时，不等式即为1＞

1

2

ln3=ln

3

成立，

故n∈N^*时，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

2

ln

(n+1)(n+2)

2

．