问题
解答题
已知函数f（x）=x（x2-a），（a∈R）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若过点P（1，-2）可以向y=f（x）作两条切线，求a的取值范围．
答案
（1）由f（x）=x3-ax求导数得到f'（x）=3x2-a．
（i）当a≤0时，f'（x）≥0，则f（x）在R上单增．
（ii）当a＞0时，f′(x)=3(x-
)(x+a 3
)．a 3
则f(x)在[
，+∞)和(-∞，-a 3
]上单调递增；a 3
在[-
，+a 3
]上单调递减．…（5分）a 3
（2）设过P（1，-2）向y=f（x）作切线于切点（x0，y0），
则y-y0=（3x02-a）（x-x0），即y=（3x02-a）x-2x03
则y=（3x02-a）x-2x03过P（1，-2），
∴-2=3x02-a-2x03，即2x03-3x02+a-2=0．
由题意知关于x0的方程
2x03-3x02+a-2=0有两个不等的实根．
令g（x）=2x3-3x2+a-2，
则g'（x）=6x2-6x=6x（x-1）．
于是g（x）极小=g（1）=a-3，
g（x）极大=g（0）=a-2．
方程g（x）=0有三个实根，其中两个根是等根．
∴
或g(1)=a-3=0 g(0)=a-2＞0 g(1)＜0 g(0)=0.
∴a=3或a=2
∴所求a的取值范围为[2，3]．…（13分）