（1）f₂（x）=1+x-

1

2

x²+

1

3

x³，f₂′（x）=-1-x+x²=（x-

1

2

）²+

3

4

＞0，

所以f₂（x）在R单调递增．

（2）f₁（x）=1+x有唯一实数解x=-1

由f_n（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

+…+

x2n-1

2n-1

，n∈N^*，

得f_n′（x）=1-x+x²-…-x^2n-3+x^2n-2．

（1）若x=-1，则f_n′（x）=（2n-1）＞0．

（2）若x=0，则f_n′（x）=1＞0．

（3）若x≠-1，且x≠0时，则f_n′（x）=

x2n-1+1

x+1

．

①当x＜-1时，x+1＜0，x^2n-1+1＜0，f_n′（x）＞0．

②当x＞-1时，f_n′（x）＞0

综合（1），（2），（3），得f_n′（x）＞0，

即f_n（x）在R单调递增．          （10分）

又f_n（0）=1＞0，f_n（-1）=1+（-1）-

1

2

+

1

3

-…-

1

2n-2

+

1

2n-1

＜0，

所以f_n（x）在（-1，0）有唯一实数解，从而f_n（x）在R有唯一实数解．

综上，f_n（x）=0有唯一实数解．