问题
解答题
| 已知a，b为正实数． （1）若函数f(x)=
（2）若e＜a＜b（e为自然对数的底），求证：ab＞ba；（3）求满足ab=ba（a≠b）的所有正整数a，b的值． |
答案
（1）∵f(x)=
，则f′(x)=lnx x
，1-lnx x2
当0＜x＜e时，f′（x）＞0；当x＞e时，f′（x）＜0．
∴当x∈（0，e）时，f（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，f（x）为减函数．
（2）由上知，若e＜a＜b，f（a）＞f（b），得：
＞lna a
，∴blna＞alnb，即lnab＞lnba，∴ab＞ba；lnb b
（3）由ab=ba得：
=lna a
．lnb b
∵当x∈（0，e）时，f（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，f（x）为减函数，∴
＜ln1 1
＜ln2 2
＞lne e
＞ln3 3
＞ln4 4
＞…，ln5 5
发现
=ln2 2
，ln4 4
∴a=4，b=2或a=2，b=4．