（1）函数的定义域为（-

1

2

，+∞）

求导函数可得f′（x）=

1

1+2x

+m．

∵x＞-

1

2

，∴

1

1+2x

＞0，∴不存在实数m，使f′（x）=

1

1+2x

+m＜0对x＞-

1

2

恒成立，

由f′（x）=

1

1+2x

+m≥0对x＞-

1

2

恒成立得，m≥

1

1+2x

对x＞-

1

2

恒成立

而

1

1+2x

＜0，故m≥0

经检验，当m≥0时，f′(x)=

1

1+2x

+m＞0对x＞-

1

2

恒成立

∴当m≥0时，f（x）为定义域上的单调递增函数．

（2）当m=-1时，由f′（x）=

1

1+2x

-1=0，可得x=0

当x∈(-

1

2

，0)时，f′（x）＞0；当x∈（0+∞）时，f′（x）＜0

∴函数f（x）在x0时取得最大值，最大值为f（0）=0

（3）证明：当m=1时，令g(x)=f(x)-

4

3

x=

1

2

ln(1+2x)-

1

3

x

∴g′(x)=

1

1+2x

-

1

3

=

2(1-x)

3(1+2x)

在[0，1]上总有g′（x）≥0，即g（x）在[0，1]上递增

∴当1≥a＞b≥0时，g（a）＞g（b），即f(a)-

4

3

a＞f(b)-

4

3

b⇒

f(a)-f(b)

a-b

＞

4

3

．

令h(x)=f(x)-2x=

1

2

ln(1+2x)-x，

由（2）知它在[0，1]上递减，

∴h（a）＜h（b）

即f(a)-2a＜f(b)-2b⇒

f(a)-f(b)

a-b

＜2

综上所述，当m=1，且1≥a＞b≥0时，

4

3

＜

f(a)-f(b)

a-b

＜2