问题
解答题
| 已知函数f（x）=x（1nx+1）（x＞0）． （I）求函数f（x）的最小值； （II）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性； （III）若斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：x1＜
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答案
（I）求导函数可得：f′（x）=lnx+2（x＞0）
令f′（x）＞0可得x＞e-2；令f′（x）＜0可得0＜x＜e-2，
∴函数在（0，e-2）上单调减，在（e-2，+∞）上单调增
∴x=e-2时，函数f（x）取到最小值，最小值为-e-2；
（II）设F（x）=ax2+f′（x）=ax2+lnx+2，则F′（x）=2ax+
=1 x
（x＞0）2ax2+1 x
当a≥0时，∵x＞0，∴F′（x）＞0恒成立，∴函数F（x）单调增区间为（0，+∞）；
当a＜0时，∵x＞0，令F′（x）＞0，可得0＜x＜
；令F′（x）＞0，可得x＞- 1 2a - 1 2a
∴函数F（x）单调增区间为(0，
)，单调减区间为(- 1 2a
，+∞)；- 1 2a
（III）证明：y=f′（x）的定义域为（0，+∞）
∵f″（x）=
＞0，∴y=f′（x）在（0，+∞）上为增函数1 x
∴0＜f′（x2）＜k＜f′（x1）
∴0＜
＜k＜1 x2 1 x1
∴x1＜
＜x2．1 k