（Ⅰ）由题意f′(x)=

x-a

x2

．      …（1分）

当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，

故fmin(x)=f(a)=lna2，无最大值． …（3分）

当a＜0时，函数f（x）的定义域为（-∞，0），此时函数在（-∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数，

故fmin(x)=f(a)=lna2，无最大值．…（5分）

（Ⅱ）证明：取a=2，由（Ⅰ）可知：f(x)=ln2x-

x-2

x

≥f(2)=2ln2，

故

2

x

≥1+ln4-ln2x=ln

2e

x

，∴

1

x

≥

1

2

ln

2e

x

，（x＞0）

取x=1，2，3…，n，则1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥

1

2

ln

(2e)n

n!

．…（10分）

（Ⅲ）假设存在这样的切线，设其中一个切点T（x0，lnx0-

x0-1

x0

），

∴切线方程：y+1=

x0-1

x02

(x-1)，将点T坐标代入得：lnx0-

x0-1

x0

+1=

(x0-1)2

x02

，

即lnx0+

3

x0

-

2

x02

-1=0，…①

设g（x）=lnx+

3

x

-

1

x2

-1，则g′(x)=

(x-1)(x-2)

x3

．

∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2．+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，

故g（x）_极大值=g（1）=1＞0，g（x）_极小值=g（2）=ln2+

1

4

＞0．

又g(

1

3

)=ln

1

3

+9-9-1=-ln3-1＜0，（也可以求g(

1

4

)等等）

注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在(

1

3

，1)内有且仅有一根

方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．…（15分）