问题
解答题
已知函数f(x)=px-
（1）若f（x）在其定义域内是单调函数，求实数p的取值范围； （2）若p∈（1，+∞），问是否存在x0＞0，使f（x0）≤g（x0）成立？若存在，求出符合条件的一个x0；否则，说明理由． |
答案
由f(x)=px-
-lnx，得f′(x)=p+p x
-p x2
=1 x (px2-x+p) x2
（1）由题意得：f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立或f'（x）≤0在（0，+∞）恒成立
若f'（x）≤0恒成立，则px2-x+p≤0恒成立∴p≤{
}minx x2+1
又
=x x2+1
∈(0，1 x+ 1 x
]∴p≤0满足题意1 2
若f'（x）≥0恒成立，则px2-x+p≥0恒成立∴p≥{
}max=x x2+1 1 2
综合上述，p的取值范围是(-∞，0]∪[
，+∞)． …（6分）1 2
（2）令F(x)=f(x)-g(x)=px-2lnx+
．则问题等价于：找一个x0＞0使F（x）≤0成立，故只需满足函数的最小值F（x）min≤0即可．e2-2e px
因F′(x)=p-
-2 x
=e2-2e px2
=(px-e)(px-2+e) px2
(x-p x2
)(x-e p
)，2-e p
而x＞0，p＞1，
＞e p
＞0，2 p
＜0，2-e p
故当0＜x＜
时，F'（x）＜0，F（x）递减；当x＞e p
时，F'（x）＞0，F（x）递增．e p
于是，F(x)min=F(
)=e-2+2lnp+e-2=2e+2lnp-4＞0．e p
与上述要求F（x）min≤0相矛盾，故不存在符合条件的x0． …（12分）