（Ⅰ）函数f（x）=lnx+

a

x

（a＞0）的定义域为（0，+∞），

则f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

．

因为a＞0，由f^′（x）＞0得x∈（a，+∞），由f^′（x）＜0得x∈（0，a），

所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．

（Ⅱ）由题意，以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k满足

k=f′(x0)=

x0-a

x02

≤

1

2

（x₀＞0），

所以a≥-

1

2

x02+x0对x₀＞0恒成立．

又当x₀＞0时，-

1

2

x02+x0=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

≤

1

2

，

所以a的最小值为

1

2

．

（Ⅲ）由f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

，即lnx+

a

x

=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

．

化简得b=lnx-

1

2

x2+

1

2

（x∈（0，+∞））．

令h(x)=lnx-

1

2

x2-b+

1

2

，则h′(x)=

1

x

-x=

(1+x)(1-x)

x

．

当x∈（0，1）时，h^′（x）＞0，

当x∈（1，+∞）时，h^′（x）＜0，

所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．

所以h（x）在x=1处取得极大值即最大值，最大值为h(1)=ln1-

1

2

×12-b+

1

2

=-b．

所以 

 当-b＞0，即b＜0时，y=h（x） 的图象与x轴恰有两个交点，方程f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

有两个实根，

当b=0时，y=h（x） 的图象与x轴恰有一个交点，方程f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

有一个实根，

当b＞0时，y=h（x） 的图象与x轴无交点，方程f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

无实根．