（1）证明：令G（x）=f（x）-m（x）=px-

p

x

-2lnx，

∴G′(x)=p+

p

x2

-

2

x

，

即G′(x)=

px2-2x+p

x2

，

令h（x）=px²-2x+p，

当p≥1时，h（x）=px²-2x+p，

其图象为开口向上的抛物线，

对称轴为x=

1

p

∈(0，1]

∴h（x）＞h（1）=2p-2＞0，

∴G'（x）在（1，+∞）内为单调递增函数，

G（x）＞G（1）=0，

即f（x）＞m（x）．

（2）∵g(x)=

2e

x

在[1，e]上是减函数，

∴x=e时，g（x）_min=2；x=1时，g（x）_max=2e，

即g（x）∈[2，2e]．

①当P=0时，h（x）=-2x，

因为x＞0，所以h（x）＜0，G′(x)=-

2

x

＜0，

∴G（x）在（0，+∞）内是单调递减函数；

②当P＜0时，h（x）=px²-2x+p，

其图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=

1

p

∉(0，+∞)，

在（0，+∞），h（x）≤0恒成立，

所以，当p≤0时，G（x）在[1，e]上递减，

G（x）_max=G（1）=0＜2

③当0＜p＜1时，由x∈[1，e]，

得x-

1

x

≥0，

又当p=1时，G（x）在[1，e]上是增函数，

∴G(x)=p(x-

1

x

)-2lnx≤e-

1

e

-2ln2＜2

④当p≥1时，h（x）=px²-2x+p，

其图象为开口向上的抛物线，

对称轴为x=

1

p

∈(0，+∞)，

∴h(x)min=(

1

p

)=p-

1

p

＞0，

∴G（x）在[1，e]上为单调递增函数，

又g（x）在[1，e]上是减函数，

故只需G（x）_max＜g（x）_min，x∈[1，e]，

而G(x)max=G(e)=p(e-

1

e

)-2lne，g（x）_min=2，

即 p（e-

1

e

）-2lne＜2，

解得1≤p＜

4e

e2-1

，

综上，p的取值范围是(-∞，

4e

e2-1

)．