问题
解答题
| 已知函数f（x）=-x3+ax2-4 （1）若f（x）在x=
（2）若存在x0∈（0，+∞），时，使得不等式f（x0）＞0成立，求实数a的取值范围． |
答案
（1）f'（x）=-3x2+2ax，由题意得 f′(
)=0，解得a=2，此时f′(x)=-3x(x-4 3
)，4 3
可知函数在（0，
）上，f′（x）＞0，函数单调增，在（-∞，0），(4 3
，+∞)上，f′（x）＜0，函数单调减，4 3
所以函数单调增区间为（0，
），函数单调减区间为（-∞，0），(4 3
，+∞)．4 3
（2）根据题意，只需要不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解即可，
即-x3+ax2-4＞0在（0，+∞）上有解．即不等式 a＞x+
在（0，+∞）上有解即可．4 x2
令 g(x)=x+
，只需要a＞g（x）min4 x2
而 g(x)=x+
=4 x2
+x 2
+x 2
≥34 x2
=3，当且仅当 3
•x 2
•x 2 4 x2
=x 2
，即x=2时“=”成立．4 x2
故a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．