问题
解答题
已知函数f（x）=ax3-12x2+9x+2，若f（x）在x=1处的切线斜率为-3
（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，2]都有f（t）≥t2-2t-1成立，求实数t的取值范围．
答案
（Ⅰ）求导函数f′（x）=3ax2-24x+9
∵f（x）在x=1处的切线斜率为-3
∴f′（1）=2a-24+9=-3，∴a=4
∴f（x）=4x3-12x2+9x+2
∴f′（x）=12x2-24x+93（2x-3）（2x-1），
令f′（x）＞0得x＞
或x＜3 2
；f′（x）＜0得 1 2
＜x＜1 2
，3 2
∴f（x）的单调增区间（
，+∞），（-∞，3 2
），1 2
f（x）的单调减区间（
，1 2
）3 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）可f（x）的极大值f（
）=2，3 2
∵f（0）=2，f（2）=4，f(
)=41 2
∴f（x）[0，2]上的最小值2，
f（x）≥t2-2t-1在x∈[0，2]上恒成立，等价于t2-2t-1≤2，
∴t2-2t-3≤0，
解得-1≤t≤3．