已知函数f（x）=ax-ex（a＞0）．（Ⅰ）当a=12时，求函数f（x）的单调

问题解答题

已知函数f（x）=ax-e^x（a＞0）．
（Ⅰ）当a=

时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当1≤a≤1+e时，求证：f（x）≤x．

答案

（Ⅰ）当a=

时，f(x)=

x-ex，令f′（x）=

-e^x=0，x=-ln2

当x＜-ln2时，f′（x）＞0；当x＞-ln2时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-ln2），递减区间为（-ln2，+∞）．

（Ⅱ）证明：令F（x）=x-f（x）=e^x-（a-1）x，

（1）当a=1时，F（x）=e^x＞0，∴f（x）≤x成立；

（2）当1＜a≤1+e时，F′（x）=e^x-（a-1）=e^x-e^ln（a-1），

当x＜ln（a-1）时，F′（x）＜0；当x＞ln（a-1）时，F′（x）＞0，

∴F（x）在（-∞，ln（a-1））上递减，在（ln（a-1），+∞）上递增，

∴F（x）≥F（ln（a-1））=e^ln（a-1）-（a-1）ln（a-1）=（a-1）[1-ln（a-1）]，

∵1＜a≤1+e，∴a-1＞0，1-ln（a-1）≥1-ln[（1+e）-1]=0，

∴F（x）≥0，即f（x）≤x成立．

综上，当1≤a≤1+e时，有f（x）≤x．