问题 解答题
设函数f(x)=x2ex-1-
1
3
x3-x2(x∈R)

(I)求函数的单调区间;
(II)求y=f(x)在[0,a](a>0)上的最小值;
(III)当x∈(1,+∞)时,证明:∀n∈N+ex-1
xn
n!
对任意n∈N+
答案

(I)f′(x)=2xex-1+x2ex-1-x2-2x=x(x+2)(ex-1-1)…(2分)

令f′(x)=0,可得x1=-2,x2=0,x3=1

x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+∞)
f′(x)-0+0-0+
f(x)极小极大极小
函数y=f(x)的增区间为(-2,0)和(1,+∞),减区间为(-∞,-2)和(0,1)…(5分)

(II)①当0<a≤1时,f′(x)<0,f(x)在[0,a]上递减,

fmin(x)=f(a)=a2(ea-1-1)-

a3
3

②当a>1时,由(I)知∴fmin(x)=f(1)=-

1
3

∴f(x)在[0,a]上的最小值是

fmin(x)=

a2(ea-1-1)-
a3
3
,(0<a≤1)
-
1
3
,(a>1)
…(8分)

(III)设gn(x)=ex-1-

xn
n!
当n=1时,只需证明g1(x)=ex-1-x>0

当x∈(1,+∞)时

g′1(x)=ex-1-1>0,

所以g1(x)=ex-1-x在(1,+∞)上单调增函数

∴g1(x)>g(1)=e0-1=0,即ex-1>x;  …(10分)

当x∈(1,+∞)时,假设n=k时不等式成立,即

gk(x)=ex-1-
xk
k!
>0,

当n=k+1时,

因为

g′k+1(x)=ex-1-
(k+1)xk
(k+1)!
=ex-1-
ek
k!
>0,

所以g'k+1(x)在(1,+∞)上也是增函数

所以

gk+1(x)>gk+1(1)=e0-
1
(k+1)!
=1-
1
(k+1)!
>0

即当n=k+1时,不等式成立.

所以当x∈(1,+∞)时,∀n∈N+ex-1

xn
n!
…(14分)

多项选择题
论述题

(22分)阅读材料,回答问题。

材料一  2013年第10天起,浓浓雾霾遮蔽中国中东部地区,中央气象台将大雾蓝色预警升级到黄色。环保部门的数据则显示,跟随大雾笼罩的范围,从华北到中部乃至黄淮、江南地区,都出现了不同程度的污染和严重污染。这几年,每到秋冬特别是入冬以后,我国中东部地区不时会遇到这样的情况,其中既有气象原因,也有污染排放原因。

中 * * 党第十八次全国代表大会提出:建设生态文明,是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计。面对资源约束趋紧、环境污染严重、生态系统退化的严峻形势,必须树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念,把生态文明建设放在更加突出地位。美丽中国,任重道远。

材料二  治理雾霾,公众期待政府更有作为。华北地区频发的“雾霾”引发政府高度重视,以《大气污染防治十条措施》为代表的政策密集出台,显示大气污染防治的政策战略高度提升。治理以“雾霾”为重点的大气污染,不仅关系到环境与民生,更关系到政府的行政能力。通过自上而下的压力及其自下而上的舆论压力,环保对地方政府不作为的“一票否决”制度有望在全国得到推广和落实。

(1)结合材料一,运用《经济生活》的相关知识,说明国家应采取哪些措施避免今后出现“十面‘霾’伏”的状况。(8分)

(2)结合上述材料,运用《政治生活》的相关知识,谈谈应如何治理大气环境污染。(14分)