问题
解答题
已知函数f(x)=ln(2+3x)-
(1)求f(x)在[0,1]上的单调区间; (2)若对任意x∈[
|
答案
(1)函数f(x)的定义域为{x|x>-
},f′(x)=2 3
-3x=3 2+3x
=3-6x-9x2 2+3x
(3分)-3(x+1)(3x-1) 3x+2
∴在[0,1]上,当0≤x<
时,f'(x)>0时,f(x)单调递增;1 3
当
<x≤1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.1 3
∴f(x)在[0,1]上的增区间是[0,
],减区间是[1 3
,1].(开闭均可)(6分)1 3
(2)由|a-f(x)|>ln5,可得a-f(x)>ln5或a-f(x)<-ln5,
即a>f(x)+ln5或a<f(x)-ln5.(7分)
由(1)当x∈[
,1]时,f(x)max=f(1 3
)=ln3-1 3
,f(x)min=f(1)=ln5-1 6
.(9分)3 2
∵a>f(x)+ln5恒成立,∴a>ln15-
,1 6
∵a<f(x)-ln5恒成立,∴a<-
.3 2
∴a的取值范围为:a>ln15-
或a<-1 6
(12分)3 2