问题 解答题
已知函数f(x)=ln(2+3x)-
3
2
x2

(1)求f(x)在[0,1]上的单调区间;
(2)若对任意x∈[
1
3
,1]
,不等式|a-f(x)|>ln5,求实数a的取值范围.
答案

(1)函数f(x)的定义域为{x|x>-

2
3
},f′(x)=
3
2+3x
-3x=
3-6x-9x2
2+3x
=
-3(x+1)(3x-1)
3x+2
(3分)

∴在[0,1]上,当0≤x<

1
3
时,f'(x)>0时,f(x)单调递增;

1
3
<x≤1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.

∴f(x)在[0,1]上的增区间是[0,

1
3
],减区间是[
1
3
,1]
.(开闭均可)(6分)

(2)由|a-f(x)|>ln5,可得a-f(x)>ln5或a-f(x)<-ln5,

即a>f(x)+ln5或a<f(x)-ln5.(7分)

由(1)当x∈[

1
3
,1]时,f(x)max=f(
1
3
)=ln3-
1
6
f(x)min=f(1)=ln5-
3
2
.(9分)

∵a>f(x)+ln5恒成立,∴a>ln15-

1
6

∵a<f(x)-ln5恒成立,∴a<-

3
2

∴a的取值范围为:a>ln15-

1
6
a<-
3
2
(12分)

单项选择题
问答题