令f′（x）=

1

2

-sinx=0，得x=

π

6

或

5π

6

，

因为f（x）在（k，k+

π

3

）内不单调，

所以f′（x）=0在（k，k+

π

3

）内有实数解，

则

k≥0 k+ π 3 ≤π k＜ π 6 ＜k+ π 3

或

k≥0 k+ π 3 ≤π k＜ 5π 6 ＜k+ π 3

，解得0≤k＜

π

6

或

π

2

＜k≤

2π

3

，

故选C．