问题 解答题

(本题12分)如图,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F,

⑵    证:平面A1CB⊥平面BDE;

⑵求A1B与平面BDE所成角的正弦值。

答案

由正四棱柱得BDAC,BDAA1推出BD面A1 AC ,A1CBD ,又A1B1面BB1 CC,BE得到BEA1B1又BEB1C, BE面A1B1C,平面A1CB⊥平面BDE;;

 

题目分析:

正四棱柱得BDAC,BDAA1BD面A1 AC ,又A1 C面A1 AC,

A1CBD ,又A1B1面BB1 CC,BE面BB1 CC,BEA1B1又BEB1C,

 BE面A1B1C,A1 C面A1B1C, BEA1 C,又A1 C面BDE,又A1 C面A1BC

平面A1CB⊥平面BDE;

⑵以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴,建立坐标系,则

 

,设A1C平面BDE=K,由⑴可知,∠A1BK为A1B与平面BDE所成角,∴ 

点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用向量则能简化证明过程。本题通过建立空间直角坐标系,利用向量的坐标运算,简化了证明过程。

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