问题
解答题
已知函数f（x）=
（Ⅰ）当f（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式； （Ⅱ）对（Ⅰ）中的φ（a）， （ⅰ）当a∈（0，+∞）时，证明：φ（a）≤1； （ⅱ）当a＞0，b＞0时，证明：φ′（
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答案
（Ⅰ）求导数，得f′（x）=
-1 2 x
=a 2x
（x＞0）．
-ax 2x
（1）当a≤0时，f′（x）=
＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，无最小值．
-ax 2x
（2）当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=a2．
当0＜x＜a2时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，a2）上是减函数；
当x＞a2时，f′（x）＞0，∴f（x）在（a2，+∞）上是增函数．
∴f（x）在x=a2处取得最小值f（a2）=a-alna．
故f（x）的最小值φ（a）的解析式为φ（a）=a-alna（a＞0）．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知φ（a）=a-alna（a＞0），
求导数，得φ′（a）=-lna．
（ⅰ）令φ′（a）=0，解得a=1．
当0＜a＜1时，φ′（a）＞0，∴φ（a）在（0，1）上是增函数；
当a＞1时，φ′（a）＜0，∴φ（a）在（1，+∞）上是减函数．
∴φ（a）在a=1处取得最大值φ（1）=1．
故当a∈（0，+∞）时，总有φ（a）≤1．…（10分）
（ⅱ）当a＞0，b＞0时，
=-φ′(a)+φ′(b) 2
=-lnlna+lnb 2
，①ab
φ′（
）=-ln（a+b 2
）≤-lna+b 2
，②ab
φ′（
）=-ln（2ab a+b
）≥-ln2ab a+b
=-ln2ab 2 ab
，③ab
由①②③，得φ′（
）≤a+b 2
≤φ′（φ′(a)+φ′(b) 2
）．…（14分）2ab a+b
