（Ⅰ）求导数，得f′（x）=

1

2 x

-

a

2x

=

x -a

2x

（x＞0）．

（1）当a≤0时，f′（x）=

x -a

2x

＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，无最小值．

（2）当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=a²．

当0＜x＜a²时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，a²）上是减函数；

当x＞a²时，f′（x）＞0，∴f（x）在（a²，+∞）上是增函数．

∴f（x）在x=a²处取得最小值f（a²）=a-alna．

故f（x）的最小值φ（a）的解析式为φ（a）=a-alna（a＞0）．…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），知φ（a）=a-alna（a＞0），

求导数，得φ′（a）=-lna．

（ⅰ）令φ′（a）=0，解得a=1．

当0＜a＜1时，φ′（a）＞0，∴φ（a）在（0，1）上是增函数；

当a＞1时，φ′（a）＜0，∴φ（a）在（1，+∞）上是减函数．

∴φ（a）在a=1处取得最大值φ（1）=1．

故当a∈（0，+∞）时，总有φ（a）≤1．…（10分）

（ⅱ）当a＞0，b＞0时，

φ′(a)+φ′(b)

2

=-

lna+lnb

2

=-ln

ab

，①

φ′（

a+b

2

）=-ln（

a+b

2

）≤-ln

ab

，②

φ′（

2ab

a+b

）=-ln（

2ab

a+b

）≥-ln

2ab

2 ab

=-ln

ab

，③

由①②③，得φ′（

a+b

2

）≤

φ′(a)+φ′(b)

2

≤φ′（

2ab

a+b

）．…（14分）