问题
解答题
| 已知函数f（x）=ax3+x2-x+1，（a＞0）． （I）f（x）在（2，+∞）上是否存在单调递增区间，证明你的结论． （II）若f（x）在(
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答案
（I）f′（x）=3ax2+2x-1
f（x）在（2，+∞）上是否存在单调递增区间，即f′（x）在（2，+∞）上存在子区间使f′（x）＞0
∵a＞0，f′（x）=3ax2+2x-1是开口向上的抛物线
∴f′（x）在（2，+∞）上存在子区间使f′（x）＞0
∴f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间；
（II）令f′（x）=3ax2+2x-1=0，∴x1=
，x2=-1- 1+3a 3a
(x1＜x2)-1+ 1+3a 3a
∵a＞0，∴f（x）在x1处取极大值，在x2处取极小值，
∴f（x）在（-∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增
∵f（x）在(
，+∞)上单调递增，∴x2≤1 3 1 3
∴
≤ -1+ 1+3a 3a 1 3
∴
≤a+11+3a
∴a2-a≥0
∵a＞0，∴a≥1
∴实数a的取值范围是a≥1