（1）∵关于x的不等式1+lnx＞g（x）的解集为（-∞，1）∪（2，+∞），

∴ax²+bx-1＜0的解集为（-∞，1）∪（2，+∞），

则a＜0，1+2=

b

a

，1×2=-

1

a

，

∴a=-

1

2

，b=

3

2

，

∴b-a=2；

（2）∵f（x）=g（x）-x=lnx+ax²，（a∈R），

∴f′（x）=

1

x

+2ax=

2ax2+1

x

，

当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）单调递增，无极值，

当a＜0时，f′（x）=

1

x

+2ax=

2ax2+1

x

=0，x=

- 1 2a

（x＞0）．

当x∈（0，

- 1 2a

），f′（x）≥0，

当x∈（

- 1 2a

，+∞），f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，

- 1 2a

）单调递增，在（

- 1 2a

，+∞）单调递减．

（3）若a=b=1，假设存在这样的两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），（其中x₁≥e²x₂），

中点C的横坐标 x₀=

x1+x2

2

，

∴g′(x)=

1

x

+2x+1，

∵PQ的斜率等于曲线在其上一点C（点C的横坐标等于PQ中点的横坐标）处的切线的斜率，

∴g′(x0)=

1

x0

+2x0+1=

y1-y2

x1-x2

=

lnx1+ x 21 +x1-(lnx2 +x 22 +x2)

x1-x2

，

即

1

x0

+2x0+1=

ln x1 x2 +(x1-x2)(x1+x2)+(x1-x2)

x1-x2

=

ln x1 x2

x1-x2

+(x1+x2)+1，

∴

1

x0

+2x0+1=

ln x1 x2

x1-x2

+2x0+1，

2

x1+x2

=

ln x1 x2

x1-x2

，

∴

2(x1-x2)

x1+x2

=ln

x1

x2

，∴

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

=ln

x1

x2

，

令t=

x1

x2

，

∵x1≥e2x2，即t≥e²，∴

2(t-1)

t+1

=lnt，∴lnt≥2，

又

2(t-1)

t+1

=2-

2

t+1

＜2，

∴方程

2(t-1)

t+1

=lnt，t≥e²，无解，

即满足条件的两点P，Q不存在．