函数f(x)=lnx+

a

x

的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

…（1分）

（1）当a≤0时，∴f'（x）≥0故函数在其定义域（0，+∞）上是单调递增的． …（3分）

当a＞0时，函数在（0，a）上是单调递减的，在（a，+∞）上是单调递减的…（5分）

（2）在[1，e]上，分别进行讨论．

①当a＜1时，f'（0）＞0，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=a＜1，这与函数f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

矛盾，所以不成立．

②当a=1时，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=1，函数f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

矛盾，所以不成立．

③当1＜a＜e，函数f（x）在[1，a]上f'（x）＜0，函数单调递减，在（a，e）上有f'（x）＞0，此时喊得单调递增，

所以函数f（x）满足最小值为f（a）=lna+1=

3

2

，

解得a=

e

．

④当a=e时，函数f（x）在[1，a]上f'（x）＜0，函数单调递减，其最小值为f（e）=2，与条件矛盾．

⑤当a＞e时，函数f（x）在[1，e]上f'（x）＜0，函数单调递减，其最小值为f（e）=1+

a

e

＞2，与条件矛盾．

综上所述，a=

e

．