（Ⅰ）由题意当x＞0时，f'（x）=3ax²+x-2，且f'（1）=0，

∴3a+1-2=0，解得a=

1

3

，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

1 3 x3+ 1 2 x2-2x，x＞0 xex，x≤0

                                             

当x＞0时，f'（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1），

∴x∈[0，1）时，f'（x）＜0；x∈（1，+∞）时f'（x）＞0．                            

当x≤0时，f'（x）=xe^x+e^x=（x+1）e^x，

∴x∈（-∞，-1）时f'（x）＜0；x∈（-1，0）时f'（x）＞0．                           

∴f（x）在（-1，0），（1，+∞）上单调递增；

在[0，1），（-∞，-1）上单调递减．                                                

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，①当m＞1时，f（x）在[m，m+3]上递增，

故f_max（x）=f（m+3），f_min（x）=f（m），

由f(m+3)-f(m)=

1

3

(m+3)3+

1

2

(m+3)2-2(m+3)-(

1

3

m3+

1

2

m2-2m)

=(m+3)[

1

3

(m+3)2+

1

2

(m+3)-2]-

1

3

m3-

1

2

m2+2m

=3m2+12m+

15

2

=3(m+2)2-

9

2

，

∵m＞1，∴3（m+2）²-

9

2

＞27-

9

2

＞

45

2

，

即f(m+3)-f(m)＞

45

2

，此时m不存在，

②当0＜m≤1时，f（x）在[m，1]上递减，在[1，m+3]上递增，

故fmin(x)=f(1)=-

7

6

．

∴|f(x1)-f(x2)|≤f(4)-f(1)=

64

3

+

7

6

=

45

2

，

∴0＜m≤1时，符合题意．                                                          

③当m≤0时，m+3≤3，

∴fmax(x)＜f(3)=

15

2

．0≤x＜3时，f(x)≥f(1)=-

7

6

；

x＜0时，f（-1）≤f（x）＜0，即-

1

e

≤f(x)＜0．

∴x₁，x₂∈[m，m+3]时，|f(x1)-f(x2)|＜

15

2

-(-

7

6

)=

26

3

＜

45

2

，

∴m≤0时，符合题意．                                                            

综上，存在m∈（-∞，1]使原不等式恒成立．