已知函数f（x）=ln（2ax+1）+
（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值； （2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围； （3）当a=-
|
（1）f′(x)=
+x2-2x-2a=2a 2ax+1
．…（1分）x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)] 2ax+1
因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．…（2分）
即
-2a=0，解得a=0．…（3分）2a 4a+1
又当a=0时，f'（x）=x（x-2），从而x=2为f（x）的极值点成立．…（4分）
（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，
所以f′(x)=
≥0在区间[3，+∞）上恒成立．…（5分）x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)] 2ax+1
①当a=0时，f'（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以fx）在[3，+∞上为增函数，故a=0符合题意．…（6分）
②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，
所以2ax2+（1-4a）x-（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞0上恒成立．…（7分）
令g（x）=2ax2+（1-4a）x-（4a2+2），其对称轴为x=1-
，…（8分）1 4a
因为a＞0所以1-
＜1，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，1 4a
因为g（3）=-4a2+6a+1≥0，
解得
≤a≤3- 13 4
．…（9分）3+ 13 4
因为a＞0，所以0＜a≤
．3+ 13 4
综上所述，a的取值范围为[0，
]．…（10分）3+ 13 4
（3）若a=-
时，方程f(1-x)=1 2
+x＞0(1-x)3 3
可化为，lnx-(1-x)2+(1-x)=b x
．b x
问题转化为b=xlnx-x（1-x）2+x（1-x）=xlnx+x2-x3在（0，+∞）上有解，
即求函数g（x）=xlnx+x2-x3的值域．…（11分）
以下给出两种求函数g（x）值域的方法：
方法1：因为g（x）=x（lnx+x-x2），令h（x）=lnx+x-x2（x＞0），
则h′(x)=
+1-2x=1 x
，…（12分）(2x+1)(1-x) x
所以当0＜x＜1，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，
当x＞1，h′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，…（13分）
因此h（x）≤h（1）=0．
而，故b=x•h（x）≤0，
因此当x=1时，b取得最大值0．…（14分）
方法2：因为g（x）=x（lnx+x-x2），所以g'（x）=lnx+1+2x-3x2．
设p（x）=lnx+1+2x-3x2，则p′(x)=
+2-6x=-1 x
．6x2-2x-1 x
当0＜x＜
时，p'（x）＞0，所以p（x）在(0，1+ 7 6
)上单调递增；1+ 7 6
当x＞
时，p'（x）＜0，所以p（x）在(1+ 7 6
，+∞)上单调递减；1+ 7 6
因为p（1）=0，故必有p(
)＞0，又p(1+ 7 6
)=-2+1+1 e2
-2 e2
＜-3 e4
＜0，3 e4
因此必存在实数x0∈(
，1 e2
)使得g'（x0）=0，1+ 7 6
∴当0＜x＜x0时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）上单调递减；
当x0＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（1，+∞）上单调递减；
又因为g(x)=xlnx+x2-x3=x(lnx+x-x2)≤x(lnx+
)，1 4
当x→0时，lnx+
＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0．1 4
因此当x=1时，b取得最大值0．…（14分）