（1）f′(x)=

2a

2ax+1

+x2-2x-2a=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

．…（1分）

因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．…（2分）

即

2a

4a+1

-2a=0，解得a=0．…（3分）

又当a=0时，f'（x）=x（x-2），从而x=2为f（x）的极值点成立．…（4分）

（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，

所以f′(x)=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

≥0在区间[3，+∞）上恒成立．…（5分）

①当a=0时，f'（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以fx）在[3，+∞上为增函数，故a=0符合题意．…（6分）

②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，

所以2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）≥0对x∈[3，+∞0上恒成立．…（7分）

令g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2），其对称轴为x=1-

1

4a

，…（8分）

因为a＞0所以1-

1

4a

＜1，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，

因为g（3）=-4a²+6a+1≥0，

解得

3- 13

4

≤a≤

3+ 13

4

．…（9分）

因为a＞0，所以0＜a≤

3+ 13

4

．

综上所述，a的取值范围为[0，

3+ 13

4

]．…（10分）

（3）若a=-

1

2

时，方程f(1-x)=

(1-x)3

3

+x＞0

b

x

可化为，lnx-(1-x)2+(1-x)=

b

x

．

问题转化为b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，

即求函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域．…（11分）

以下给出两种求函数g（x）值域的方法：

方法1：因为g（x）=x（lnx+x-x²），令h（x）=lnx+x-x²（x＞0），

则h′(x)=

1

x

+1-2x=

(2x+1)(1-x)

x

，…（12分）

所以当0＜x＜1，h^′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，

当x＞1，h^′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，…（13分）

因此h（x）≤h（1）=0．

而，故b=x•h（x）≤0，

因此当x=1时，b取得最大值0．…（14分）

方法2：因为g（x）=x（lnx+x-x²），所以g'（x）=lnx+1+2x-3x²．

设p（x）=lnx+1+2x-3x²，则p′(x)=

1

x

+2-6x=-

6x2-2x-1

x

．

当0＜x＜

1+ 7

6

时，p'（x）＞0，所以p（x）在(0，

1+ 7

6

)上单调递增；

当x＞

1+ 7

6

时，p'（x）＜0，所以p（x）在(

1+ 7

6

，+∞)上单调递减；

因为p（1）=0，故必有p(

1+ 7

6

)＞0，又p(

1

e2

)=-2+1+

2

e2

-

3

e4

＜-

3

e4

＜0，

因此必存在实数x0∈(

1

e2

，

1+ 7

6

)使得g'（x₀）=0，

∴当0＜x＜x₀时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x₀）上单调递减；

当x₀＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（1，+∞）上单调递减；

又因为g(x)=xlnx+x2-x3=x(lnx+x-x2)≤x(lnx+

1

4

)，

当x→0时，lnx+

1

4

＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0．

因此当x=1时，b取得最大值0．…（14分）