问题 解答题
已知函数y=f(x)=ln(kx+
1
x
),(k>0)在x=1处取得极小值.
(1)求k的值;
(2)若f(x)在(
1
2
,f(
1
2
))处的切线方程式为y=g(x),求证当x>0时,曲线y=f(x)不可能在直线y=g(x)的下方.
答案

(1)f′(x)=

kx2-1
x(kx2+1)

由已知得f′(1)=

k-1
k+1
=0⇒k=1.…(3分)

(2)当k=1时f′(x)=

x2-1
x(x2+1)

此时y=f(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增…(5分)

由于f′(x)=

x2-1
x(x2+1)
k=f′(
1
2
)=-
6
5

则y=f(x)在(

1
2
,ln
5
2
)的切线方程为y-ln
5
2
=-
6
5
(x-
1
2
)
,即y=g(x)=-
6
5
x+
3
5
+ln
5
2
…(8分)

当x>0时,曲线y=f(x)不可能在直线y=g(x)的下方⇔f(x)≥g(x)在(0,+∞)恒成立,

ϕ(x)=f(x)-g(x)=ln(x+

1
x
)+
6
5
x-
3
5
-ln
5
2
ϕ′(x)=
(x-
1
2
)(6x2+8x+10)
5(x3+x)

x∈(0,

1
2
),ϕ′(x)<0,x∈(
1
2
,+∞),ϕ′(x)>0,ϕ(x)min=ϕ(
1
2
)=0

即ϕ(x)≥0即f(x)≥g(x)在(0,+∞)恒成立,

所以当x>0时,曲线y=f(x)不可能在直线y=g(x)的下方…(13分)

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