问题
解答题
已知函数f(x)=
(1)求f(x)的单调区间. (2)若a>0,求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值; (3)若0<a<e,g(x)=-
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答案
(1)∵函数f(x)=
+lnx-1,(x>0),∴f′(x)=-a x
+a x2
=1 x
,x-a x2
①当a≤0时,f′(x)>0,∴函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
②当a>0时,当x>a时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当0<x<a时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.
(2)①若a≥e,由(1)可知:函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,因此当x=e时,函数f(x)取得最小值f(e)=
.a e
②若0<a<e,由(1)可知:函数f(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,e)上单调递增,因此当x=a时,函数f(x)取得极小值,即最小值f(a)=lna.
(3)∵当0<x≤e时,∴g′(x)=
-2e x2
=1 x
>0,∴g(x)在区间(0,e]上单调递增,∴g(x)≤g(e)=-3.2e-x x2
由(2)可知:对于函数f(x),当0<x≤e,0<a<e时,函数f(x)取得最小值f(a)=lna.
因此要使∃x1∈(0,e],x2∈(0,e],使g(x1)=f(x2),则必须g(x)max≥f(x)min,即-3≥lna,
解得0<a<
,1 e3
∴a的取值范围是(0,
).1 e3