问题 解答题
已知函数f(x)=
a
x
+lnx-1.
(1)求f(x)的单调区间.
(2)若a>0,求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值;
(3)若0<a<e,g(x)=-
2e
x
-lnx.∃x1∈(0,e],x2∈(0,e],使g(x1)=f(x2),求a的取值范围.
答案

(1)∵函数f(x)=

a
x
+lnx-1,(x>0),∴f(x)=-
a
x2
+
1
x
=
x-a
x2

①当a≤0时,f′(x)>0,∴函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;

②当a>0时,当x>a时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当0<x<a时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.

(2)①若a≥e,由(1)可知:函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,因此当x=e时,函数f(x)取得最小值f(e)=

a
e

②若0<a<e,由(1)可知:函数f(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,e)上单调递增,因此当x=a时,函数f(x)取得极小值,即最小值f(a)=lna.

(3)∵当0<x≤e时,∴g(x)=

2e
x2
-
1
x
=
2e-x
x2
>0,∴g(x)在区间(0,e]上单调递增,∴g(x)≤g(e)=-3.

由(2)可知:对于函数f(x),当0<x≤e,0<a<e时,函数f(x)取得最小值f(a)=lna.

因此要使∃x1∈(0,e],x2∈(0,e],使g(x1)=f(x2),则必须g(x)max≥f(x)min,即-3≥lna,

解得0<a<

1
e3

∴a的取值范围是(0,

1
e3
).

单项选择题