问题
解答题
设函数f（x）=（x+2）2-2ln（x+2）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x2+3x+a在区间[-1，1]上只有一个实数根，求实数a的取值范围．
答案
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-2，+∞），
因为f′（x）=2[（x+2）-
]=1 x+2
，2(x+1)(x+3) x+2
所以 当-2＜x＜-1时，f′（x）＜0；
当x＞-1时，f′（x）＞0．
故f（x）的单调递增区间是（-1，+∞）；
f（x）的单调递减区间是（-2，-1）（注：-1处写成“闭的”亦可）
（Ⅱ）由f（x）=x2+3x+a得：x-a+4-2ln（2+x）=0，
设g（x）=x-a+4-2ln（2+x），求导数得g′（x）=1-
=2 x+2 x x+2
在区间[-1，1]上加以讨论：
当-1＜x＜0时，g′（x）＜0，而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
故g（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
要使方程f（x）=x2+3x+a在区间[-1，-1]上只有一个实数根，
则必须且只需g（0）=0，或
或g(-1)＜0 g(1)≥0 g(-1)≥0 g(1)＜0
接下来分类：
①当g（0）=0时，解之得a=4-2ln2；
②当
时，g(-1)＜0 g(1)≥0 -1-a+4-2ln(2-1) ＜0 1-a+4-2ln3≥0
解之得a∈φ
③当
时，g(-1)≥0 g(1)＜0 -1-a+4-2ln(2-1) ≥0 1-a+4-2ln3＜0
解之得a∈（5-2ln3，3]
综上所述，得a=4-2ln2，或a∈（5-2ln3，3]
所以实数a的取值范围（5-2ln3，3]∪{4-2ln2}．