已知函数f（x）=x如+ax2-2x+5．（少）若函数f（x）在（2如，少）上单

问题解答题

已知函数f（x）=x^如+ax²-2x+5．
（少）若函数f（x）在（

如

，少）上单调递减，在（少，+∞）上单调递增，求实数a的值；
（2）是否存在正整数a，使得f（x）在（

少

如

，

少

）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数？若存在，试求出a的值，若不存在，请说明理由．

答案

（1）f′（x）=3x⁰+0ax-0

∵f（x）=x³+ax⁰-0x+5在（

，1）上递减，在（1，+∞）上递增，

∴f′（1）=0，

∴a=-

．…（6分）

（0）令f′（x）=3x⁰+0ax-0=0．

∵△=4a⁰+04＞0，∴方程有两个实根，…（8分）

分别记为x₁x₀．由于x₁•x₀=-

，说明x₁，x₀一正一负，

即在（

，1）内方程f′（x）=0不可能有两个解．…（10分）

故要使得f（x）在（

，

）上既不是单调增函数也不是单调减函数的充要条件是

f′（

）•f′（

）＜0，即（

a-0）（

+a-0）＜0．…（13分）

解得

＜a＜

．…（15分）

∵a是正整数，∴a=0．…（16分）