（1）∵f（x）=x³-ax²-3x，

∴f′（x）=3x²-2ax-3，

∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，

∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，

即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．

则必有

a

3

≤1且f′（1）=-2a≥0，

∴a≤0，即实数a的取值范围是（-∞，0]；

（2）∵x=3是f（x）的极值点，

∴f′（3）=3×3²-2a×3-3=0，解得a=4，

∴f′（x）=3x²-8x-3，

令f′（x）=3x²-8x-3=（x-3）（3x+1）＞0，解得x＜-

1

3

或x＞3，

令f′（x）=3x²-8x-3=（x-3）（3x+1）＜0，解得-

1

3

＜x＜3，

∴f（x）的单调区间增区间为（-∞，-

1

3

）和（3，+∞），单调递减区间为（-

1

3

，3）．